６月１４日（水）
Duo improvisation
杉本拓 (guitar)
増渕顕史 (guitar)
19:30 open / 20:00 start
1700円
水道橋 Ftarri http://www.ftarri.com/suidobashi/
６月１７日（土）
Songs
杉本拓 (composition, guitar)
佐伯美波 (voice)
増渕顕史 (guitar)
open 19:30 / start 20:00
2000円＋drink order
下北沢APOLLO http://ameblo.jp/430416apollo/
スイスのサックス奏者、Christian Kobi（クリスチャン・コビ）が２度目の来日をします。
私が訳したクリスチャンのインタビューは↓にあります。
http://d.hatena.ne.jp/gesubancho/20150406/1428339240
Christian Kobi クリスチャン・コビ
スイスのベルン生まれ。バーゼル音楽大学（Hochschule für Musik）でクラシック音楽を学び、さらにパリ（パリ国際芸術都市Cité Internationale des Arts）、ルツェルン（修士）、チューリッヒ（博士）において、即興演奏や現代音楽の作曲といった分野での専門的な研究をおこなう。地元ベルンや国内外において、ソロや様々な即興演奏のグループとともに活発な演奏活動をおこなっている。Fritz Hauser, Katharina Weber, John Butcher, Lionel Marchetti, Christian Wolff, Sylvie Courvoisier等と録音およびコンサートで共演。２００４年より、ベルン大聖堂で開催される即興演奏のフェスティヴァル»zoom in«を主催し、アーティスティック・ディレクター務める。新しい音楽のためのレーベル«CUBUS RECORDS»の共同創立者でもある。２０１２年と２０１３年はSzofa Budapst（ブダペスト）のアーティスティック・ディレクターを務めた。数々の録音に参加。最新作は” r a w l i n e s” 。
http://www.christiankobi.ch/index.php/solo.en.html
4月17日 （月）
水道橋 Ftarri
solo and duo
Christian Kobi (sax) 森重靖宗 Yasumune Morishige (cello)
19:30 start / 20:00 start
2000円
4月18日（火）
水道橋 Ftarri
solo, duo, trio, and quartet
Christian Kobi (sax) 杉本拓 (guitar) 池田陽子 (violin, viola) 池田若菜 (flute)
19:30 start / 20:00 start
予約：2000円 当日：2500円
水道橋 Ftarri http://www.ftarri.com/suidobashi/
Christian Kobi クリスチャン・コビ (saxophone)
residency and workshop in Kanuma, Tochigi
会場：興文堂書店 Kobundo [さんえふ]
栃木県鹿沼市鳥居跡町1008-5 (東武日光線新鹿沼駅から徒歩5分）
予約・問い合わせ：Tel 0289-65-1222 (高橋)
4月20日（木）
Solo w/高橋朝 Tsukasa Takahashi
19:00 open / 19:30 start
1,500円 (4/23ワークショップ参加者は500円引き)
4月21日（金）
Solo & Duo w/大和田俊 Shun Owada
19:00 open / 19:30 start
1,500円 (4/23ワークショップ参加者は500円引き)
4月22日（土）
Solo w/ 杉本拓 Taku Sugimoto
19:00 open / 19:30 start
1,500円 (4/23ワークショップ参加者は500円引き)
4月23日（日）
Workshop w/ 杉本拓 Taku Sugimoto (translation)
13:00 open / 13:30 start
1,500 円
4月24日（月）
下北沢APOLLO http://ameblo.jp/430416apollo/
solo and duo
Christian Kobi (sax) 杉本拓 (guitar)
open 19:30 / start 20:00
2000円＋drink order
またヨーロッパ行きます。
その前にライブがひとつ。すっかり、宣伝するのを忘れてた。あー、もう遅いか。
シンガーソングライターのMARKさんのご指名を受けて、３／５（日）に渋谷公園通りのクラシックスでタイバン、というか前座をします。
MARKさんのCDリリースパーティーです。
私はソロの他、佐伯美波さん（声）、池田若菜さん（フルート）とアンサンブルもします。
詳細は↓
http://www.faderbyheadz.com/release/headz217.html
"PROBLEMS OF ART" Susanne K. Langer SCRIBNERS 1957
"Music and Mathematics" edited by John Tauvel, Raymond Flood and Robin Wilson OXFORD 2003
『実験的ポップ・ミュージックの軌跡』 ビリー・バーグマン＋リチャード・ホーン 若尾裕訳 勁草書房 1997
『私の小さな古本屋』 田中美穂 ちくま文庫 2016
『日本の宗教』 田中治郎 日本文芸社
"experimental music since 1970" Jennie Gottschalk BLOOMBURY 2016
去年の後半は全然本が読めなかった。忙しかったわけではない。読む気がしなかったのである。
Jennie Gottschalkの"experimental music since 1970" は現時点で最良の「実験音楽」への手引書だと思う。扱う範囲が大変に広く、こんなバカな――面白い――ことをやっている人達ががいるのかと、とてもわくわくして読んだ。ただ、ちょっと英語が難しかったかな。
これは今年の頭に書いたもので、最初は作者に送るつもりでいた。しかし、気が変わり、若干の手直しをして、直接自分のブログに載せる事にした。それらの本がないとわからない部分もあるが、私も本を図書館に返してしまったので、どうしようもないのである…
最近、菊地／大谷コンビの本を――今更ですが――いくつか読みました。『憂鬱と官能を教えた学校』と『アフロ・ディズニー』です。どちらもその絶妙な語り口を「流石だなあ」と思いましたし、特に、『憂鬱』に関しては、私はこの手のことが不得意なので（正直あまり関心がないというのもありますが）、とても勉強になりました。
けれど、間違っているところも多々あります。どちらの本も「倍音」がひとつの核となって議論を進めているのですが、肝心の倍音の構造がどういうものかかが明示されていないので、いまひとつ説得力がありません。というか、言いたい事を言うのに本当に「倍音」を持ち出す必要があるのかが私には疑問でした。そういうトピックを持ち出さなくてもあれは書けたと思います。その方が内容もシャープになったのではないでしょうか。
「倍音」や「整数比」で表す音程について十分な理解がないと感じました。『憂鬱』に関しては、理論書の側面も幾らかはあると思うので、こういうことをきちんとしないと、論旨がぼやけ、結果としてどこか「読者を煙にまく」様な印象を残しかねません（恐らく、それも狙いなのでしょうけど）。
そういうことについて――『憂鬱』や『アフロ・ディズニー』に書かれていることのどこがおかしいかについて――、ひとつ文章を書こうと思いました。
それでは気になったところを拾っていきます（これでもかなりしぼりました）。版を重ねることで訂正されていることもあると思うので――私の読んだのはたぶん初版だったので――、直っていたらごめんなさい。また私にも、理解不足、勘違い、計算間違い、うっかりミス、不適切な説明等があるかもしれません。それについてはご指摘していただければと思います。
まず、『憂鬱』から。一番目は、ｐ２７の「僕らはピタゴラス音律による調律はもう使ってないけれど」というのが気になりました。ヴァイオリンやチェロ等の弦楽器奏者は隣り合うふたつの弦のインターヴァルを純正の完全５度でとります。ふたつの弦を同時に弾き、その音程を聞きながら、うなりがなくなるように調弦すると、そうなります。これでチューニングすると、ほんのわずか――+２／１００セント――ですが、平均律の完全５度よりもその音程が広くなるのです。例えばチェロの１弦はAにチューニングしますが、それを基準に他の３弦間の音程をそれぞれ純正の完全５度にすると、４弦のCは平均律のそれより６セント低くなるのです。セントは半音以下の微分音を表すのに考案された単位で、半音が１００セントとなるので、例えばA+５０はAとA＃（Bb）の中間の音程になる（なのでA＃−５０でもよい）。
この調弦法はピタゴラス的です（英語ではピタゴラス音律を”Pythagorean tuning”と言います）。
ｐ２６の図版３も何がなんだかわかりません。ここに登場している単位は何でしょうか？セントでもないし、ヘルツだとしてもおかしい（４度と５度の平均律との差がそれぞれ＋1.4と−1.4になっているのですが、セントだとそれぞれ−2と+2になるので、この対称性が気になる）。純正音階と平均律の音階の差が８度で０になるのは納得できますが、３度で０になるのがよくわからない。これは一体何なのでしょう？見当がつきません。出典が知りたいです。
そのあとの脚注（ピタゴラス音律の説明）がまたメチャクチャです。「１２、９、８、６、のよっつの数が作る比率から、オクターブ、純正４度、純正５度、全音（９／８）、…」というところはもはや何を言っているかまるでわかりません。純正５度は３／２、純正４度は４／３なので、８以外ないじゃないですか？
例えば９は３の2乗に素因数分解でき、６は２×３に素因数分解できる。ピタゴラス音律を構成する比はすべて、素数２と３の倍数からなっているのです。別の言い方をすると、ある基音１に３／２をかけて作られるのがピタゴラス音律です（つまり、重要な数は２と３です）。３／２は完全５度ですが、何故そうなのかは、第２倍音と第３倍音との音程がそうだから、と説明するのが分かりやすいでしょう。ある基音の第２倍音はそのオクターブ上で、第３倍音はそれから完全５度上になる（基音からはオクターブと完全５度上）。オクターブは２／１という比で表しますが、これは基音１と第２倍音の音程です。
まず、なんでもよいのですが例えばCに３／２をかけるとGになります、これに３／２をかけるとDになる。でもこのDは最初のCから９／４の音程、つまりオクターブと長２度高くなっています。これに３／２をかけると２７／８、つまりオクターブと長６度上のAになります。さらにこれに３／２をかけると８１／１６、２オクターブと長３度上のEになります。このへんでやめておきますが、３／２（純正５度）をかけて生まれた比（音程）で構成された音律をピタゴラス音律といいます。これまでに出てきたD、A、EはCと同じオクターブにないので、その比から１オクターブなり２オクターブを引かなければいけません。ある音程の比からある音程の比を引くには、前者の比を後者の比で割ればよい。例えば９／４からオクターブを引く式は、９／４÷２／１、になります（１オクターブは２／１なので）。９／４÷２／１＝９／４×１／２＝９／８、となるのでCとDの音程、ドとレの音程―すなわち全音――が算出されるわけです。２７／８は２７／１６となり、これはピタゴラス音律の長６度です。８１／１６は２オクターブ引く（下げる）必要があるので、８１／１６×１／４＝８１／６４となり、これが悪名高いピタゴラスの長３度になる。こうやっていくと、ピタゴラス音律からドレミファソラシド（長音階）を構成することが可能になります。まずそれを書きます。
１ ９／８ ８１／６４ ４／３ ３／２ ２７／１６ ２４３／１２８ ２／１
ド レ ミ ファ ソ ラ シ ド
となります。Cに３／２をかけ続けていくと、C、G、D、A、E、B、となるのでCに対するファであるF以外はすぐに揃います。Fはどこにあるかというと、Cから２／３のところ――いいかえればFから３／２がCになる――、これを１オクターブ上げてやれば――足す時はかける、すなわち２／３×２／１＝４／３となり――Fがファになるわけです。
C、G、D、A、E、Bをもう少し左右両方向に伸ばすと、
……Bbb、Fb、Cb、Gb、Db、Ab、Eb、Bb、F、C、G、D、A、E、B、F#、C#、G#、D#、A#、E#、B#、F##.......
となるわけで、ピタゴラス音律は螺旋状に進んで行くので、仮にオクターブを合わせたところで、同じ音程はふたつ存在しません。例えば、CとB#、FbとEは別の音になります。
脚注には＜C、G、D、A、E、B、F#＞から構成されたもの、すなわち＜C、D、E、F#、G、A、B、C＞がピタゴラス音律である、とありますが、これは間違っているとは言えないかもしれませんが、適切な説明ではありません。何故なら、下にずらして、 ＜F、C、G、D、A、E、B＞から音階を構成してもよいからです（それが上に書いたピタゴラスのドレミファソラシドになる）。＜C、D、E、F#、G、A、B、C＞はファソラシドレミファと読めるので、リディアン・モードになるのでしょう。ですが、違いはFがF#になっただけなので、Cを基音にF#の比を求めてみると、それは７２９／５１２となり、非常に複雑な比になります。４／３のほうがすっきりしていませんか？ ＜F、G、A、B、C、D、E、F＞からリディアン・モードを構成しても同じです。Bが７２９／５１２になる。
広義な意味での純正律は、整数比で表せる音程で構成された音階、音律、旋法ということになるのですが、それを構成する音程は単純な整数比で表せるほど協和度が高いとされているので、なるべくそういうものを音程にとりいれようとしていたわけです。
ピタゴラス音律で構成された長音階を見ても、ミの８１／６４、ラの２７／１６、そしてシの２４３／１２８は複雑な比になっている。これを単純にしたものが所謂純正律長音階で、結果から言うと、ミは５／４、ラは５／３、シは１５／８に入れ代わりました。
１ ９／８ ５／４ ４／３ ３／２ ５／３ １５／８ ２／１
ド レ ミ ファ ソ ラ シ ド
だいぶすっきりしました。ピタゴラス音律の音程を表す比はすべて（１をのぞいて）２と３の倍数から作られています。「リミット」というのは音程比に使われる素数の最大値なのですが、ピタゴラスのそれは３なので、３リミットの純正律です。３の次の素数は５。純正律長音階において、ミの５／４、ラの５／３、シの１５／８にはすべて５とその倍数が使用されています。素数の最大値を５に引き上げたのです。なので、これは５リミットの純正律となる。
ところで、この純正律長音階（を構成する音程）が平均律のそれとどれくらい違うのかというと、レが+４セント、ミが−１４セント、ファが−２セント、ソが+２セント、ラが−１６セント、シが−１２セント違う。
先に少し書きましたが、セントというのは細かい音程を表す単位なのですが、音程比やヘルツと違って、音程間が等間隔になることで、微分音が平均律からどれくらいずれているかがわかりやすくなるわけです。
例えばヘルツを用いると、４４０ヘルツのオクターブ上は８８０ヘルツ、その上は１７６０ヘルツと倍々になっていきます。音程比もそうで、オクターブは２（２／１）、２オクターブは４（４／１）、３オクターブは８（８／１）になる。しかし、対数を用いてセントに変換すると、オクターブが１２００、２オクターブが２４００、３オクターブが３６００になるわけです。
オクターブが１２００セントなので半音は１００になり、例えば純正律長音階のミは平均律のそれよりも１４／１００セント低いということがわかる。ちなみに、ピタゴラスのミ（８１／６４）は平均律のそれより８／１００高く、ラ（２７／１６）は６セント高く、シ（２４３／１２８）は１０セント高い。
比からセントへの変換の仕方は色々あるのですが――計算機の対数を使うやりかたもありますが――、単純な比だと頭で計算したほうが速い。一番てっとり早いのは、まず倍音列を頭に叩き込むことです。第１６倍音くらいまでの音程の並びと各音程の平均律からのセント差を覚えておけば、大概の比はセント値に変換出来ます（１７以上の素数が出てこなければ）。思いっきり省略しますが、Cを基音とした場合、第２倍音はそのオクターブ上のC、第３倍音はそのCから完全５度上のG+２、第４倍音はそのGから完全４度上のC（つまり基音の２オクターブ上のC）、第５倍音はそのCから長３度上のE−１４です。３／２は第２倍音と第３倍音の音程差に等しいので、それをセントにすると７０２セントになる。平均律の半音のセント値が１００なので、その完全５度は７００、それよりも２セント高いことがわかる。５／３はどうでしょう。これは第３倍音と第５倍音の音程差です。G＋２とE−１４、平均律の長６度は９００セントですが、G＋２とE−１４間は８８４セントになります。基音であるCからの８８４セント上はA−１６になります。
そういうことなので、P２８の純正律長音階の「レが低くてミが高い」というのはおかしいと思うわけです。レ（9／8）が少し高くてミが低くならなければならない。しかし、これは誤植のような気がしないでもありません。
次に５６ページからの差音の説明ですが、これは非常に雑で、なおかつ間違っています。
ドとミを鳴らすと２オクターブ下のドが鳴る、というのは合っています。ですが、これはドの１に対してミが５／４の場合だけです。
理屈はこうなります。振動数差を求める場合、５／４と１の差、すなわちミとドの差音は、高いほうの比から低い比を引くことで求められるので、
５／４−１
＝５／４−４／４
＝１／４、
となり、２オクターブ下のドになるのです（１／２は基音１のオクターブ下、１／４は２オクターブ下、１／８は３オクターブ下…）。もしミがピタゴラス音律のミ（８１／６４）だった場合、差音は違うものになります。
８１／６４−６４／６４＝１７／６４
素数１７が出てきてしまいましたが、結果から言うと、これは１オクターブと約長７度下の音です。Cが基音だったら、Db+５です。ドではありません。
平均律のそれについても計算してみました。
平均律の各音程は整数比で表せないのでヘルツの比を使って計算することになります。平均律の長３度の比を、c’とe’の周波数の比でみると（『音と音楽の基礎知識』大蔵康義 国書刊行会 ｐ５６の表をつかいました）、329.628/ 261.626となっています（まあ、平均律の長３度はすべて同じ比なのですが）。
ここからは――基音との差音を算出するには――、計算機でないとできません。まず、
329.628/ 261.626−261.626/ 261.626＝68.002/ 261.626＝0.259920、
とした後、3986.3136 * Log10 0.259920で計算できるのですが、話が煩雑になるので、ちょっとここでのその説明は省き、脚注に書きました（１）。
3986.3136 *-0.585160=-2332.6312
となったので、それは基音から約２オクターブ低いC+67、あるいは基音からオクターブと約長７度低い（-2400は２オクターブ下になるから、-2332はそれより約６７セント高い音になる）Db−３３（C#−３３）であり、もしその音が聞こえるようなことがあれば、これまでに登場してきた整数比による長３度に比べて、基音に対してもっとも中途半端で不協和な音になるのではないでしょうか。いずれにしろ、これをドとは言えません（もちろん、ピアノでもなんでも多少はコンセプトとしての平均律のチューニングからはすこしずれているでしょうから、このとおりにはなりませんが…）。
次の、「ドとソを弾くと、ソひくドの答えは、ソ、なんです」は完全に間違っています。答えはオクターブ下のドです。
３／２−２／２＝１／２
だからです。もちろんこれも整数比音程の場合なのですが、平均律の完全５度と完全４度は純正律の３／２や４／３とかなり近いので、１／２に近い差音が出るのではないでしょうか（面倒くさいので計算はしません）。ヘルツだともっとわかりやすいです。２００ヘルツに対する３００ヘルツは３／２になり、完全５度、すなわちドとソになる。３００−２００は１００なので、２００の半分の１／２、オクターブ下のドです。仮に「ソとド」だとして、ドひくソでも差音はソにはならないです。
２／１−３／２＝１／２
同じです。ドとソの組み合わせで、差音がソになるのはないのではないでしょうか？
ｐ８０の都節音階もおかしいです。キーボードの表で言えば、Bbではなく、Abです。Bbも使われますが（「都説音階」を脱臼させる箏の曲を作ったことがあり、その下準備として箏の譜面をいくつか読みました）、都節音階の主要な構成音ではありません。
ｐ８０のロバート・ジョンソンのところでの音程の説明がおかしなことになっていますが、これは恐らく誤植でしょう。ブルースについてはまた書きます。
これも誤植だと思うのですが、P１２３の、Abに対するAは増１度ではないでしょうか？G#に対するAは短２度ですが。平均律では同じ音ですが… Abに対する短２度はBbbですかね？まあこれは別にどうでもよいです。
ｐ２９９の「ブルーズのブルーノートっていうのは、この間やったように長調と捕まえられない、調律上の訛りであって…」というのは、確かにその通りだと思います。ですが、基準となる音律はあるはずです。ブルースのペンタトニックは、西洋の短音階から派生したそれとは別物と考えたほうが良いと思います。西洋短音階のそれは、
１、 ６／５、４／３、３／２、９／５、２／１
なので、５リミットです。対して、ブルースのそれは、
１、 ７／６、４／３、３／２、７／４、２／１
となり、７リミットと考えられなくはないでしょうか。５／４に関しては、使ったり、無視したりしたのでは。これは私だけが言っているわけではありません。少なくとも7thとされているものが、第７倍音由来であるということは何人かの人が指摘しています。ラ・モンテ・ヤングは、素数５が使われる音程比を西洋音楽の特徴として、自らはそれらの音程を使う事を禁じていますが、初期のブルースにおいて、黒人たちが似たようなストラテジーをとったと考えるのは（無意識的になのでしょうが）、ありえると思うのです。
第７倍音は鬼子です。それは基音より２オクターブと約短７度上の音なのですが、平均律のそれより、３１セント低いので、素数７（およびその倍数）を使った音程比は平均律の音楽になれた耳にはとても調子が外れた音に聞こえるのではないでしょうか？ブルースは――少なくともそれが発生した時は――そういう音をあえて音律に組み込んだと考えたくなるのですよ。
しかも、第７倍音は聞こえます。初期のブルースマンが理論から自らの音楽や音律を作ったとは考えにくい。それは耳で聞いたものから組み立てられたのではないでしょうか。キーがAだった場合、ギターの５弦Aと４弦Dの倍音に（オクターブは違うこともありますが）上記の「ブルース・ペンタトニック」の音（および５／４と５／３）のすべてが含まれています。
もちろんこの音階の通りに歌い演奏しているわけではないでしょう。ですが――これは藤枝守さんもどこかで書いていたと思いますが――、この音階を意識しながら、それに様々なイントネーションが加えられたのだと思います。スライド・ギターやブルース・ハープのベンディングなんかは、７／６や７／４を含む、そういう微分音を出すために必要だったのではないでしょうか？長くなるので、これもこのへんで。
次はｐ３２７の「すべて説明してやろう。すべて説明できないと公理ではない」ですが、公理というのは証明不可能な基本前提です。私の電子辞書にはこう書いてあります。
（数学で）その理論体系の出発点として、証明を要しないで真であると仮定した命題。
色々な理論体系がありますから、ひとつの公理は別の理論体系では真と仮定されない場合もあります。ですが、ひとつの理論体系の基礎にはある公理系があります。ある理論体系において、定理は公理から導き出される真理ですが、その公理系によって導き出されるので、それらも「公理」と言っていいかも知れませんが… しかし、「公理ではない」は、「定理ではない」でもなく、「理論ではない」なのでは？
ｐ３４６の「自然倍音列の中に完全４度はない」や「自然物理上、完全４度はない」というのも少しおかしい。完全４度がないというのなら、完全５度もありません。ある基音の次の倍音（第２倍音、英語でいうと、2nd harmonicあるいは2nd partial。2nd overtone は第３倍音の意味になる）は基音の１オクターブ上なので、基音を基準に考えるなら、そこにはオクターブしかないことになる。
完全５度は第２倍音と第３倍音の音程であり、完全４度は第３倍音と第４倍音の音程です。長３度は第４倍音と第５倍音の音程で、短３度は第５倍音と第６倍音の音程というように、すべての音程は倍音列の中にあると言っていいでしょう――長６度は第３倍音と第５倍音、短６度は第５倍音と第８倍音の音程、減５度は（これは異論もあるのですが）第５倍音と第７倍音、その転回音程である増４度は第７倍音と第１０倍音、長７度は第８倍音と第１５倍音、短７度は第第９倍音と第８倍音（あるいは第１０倍音と第９倍音、それか８倍音と第７倍音）、長２度は第８倍音と第９倍音（あるいは第９倍音と第１０倍音）、短２度は第１５倍音と第１６倍音のそれぞれの音程になるといった具合に…
「完全４度は相対的な」というのは、ある意味分からないでもないです。オクターブから完全５度をひいたもの、転回音程は完全４度です。これは２／１÷３／２＝４／３と説明できるので。しかし、だからこそ、この４／３は第３倍音と第４倍音の音程に対応しているのです。
ところで、３／２をひっくり返すと、２／３となり、これは基音より低い音程となる。もし、基音がCであれば、それより完全５度低いFがその音程になるのです。これは下方倍音列における第２（下方）倍音と第３（下方）倍音の音程に対応するのです。
――ここからは『アフロ・ディズニー』に関して気がついたことを書きます。
まず、ｐ３２から３３の「下方倍音列＝『無意識』」あたりのくだりですが、これはちょっと理解に苦しみます。下方倍音列（undertone）というのは、上方倍音列と対称的なものなので、下方倍音列単独で多調性／無調性を生み出すことが出来るなら、上方倍音列だけでもそれは可能になるので、それは上下ふたつの倍音列が組み合わさってのことだとしましょう。例えばドを基音として、「ファ」に近い音程は上方倍音列にはなかなか登場しません。つまり上方倍音に登場する音だけでは長音階も作れないことになってしまう。「ド」を基音とした場合、下方倍音列における第３倍音が「ファ」なのです。下方倍音列というのは現実には基音から発生しないものです。しかし、だからと言って、「ファ」を無意識の産物とすることはできないはずです。純正律（でも平均律でも）の長音階に「ファ」はあります。というか、ないと困るでしょう。これはどこから来たのでしょうか？「ファ」は４／３です（第３倍音と第４倍音の音程に対応する）。これを２オクターブ下げると１／３です。この１／３というのは３すなわち第３倍音と対称になっていて、上方倍音の３（３／１）と対称になる下方倍音は１／３になるのです。この「ファ」の長３度上の「ラ」は、４／３×５／４（純正長３度）＝５／３、というやり方でも導出できます（「ラ」も倍音列には近い音がなかなか出てきません）。
オクターブを比で表すと１、２、４、８と倍々で数字が大きくなっていきます。それぞれ、基音、第２倍音、第４倍音、第８倍音に対応します。これと対称となる下方倍音は、１、１／２、１／４、１／８、で、１／２をかけるごとにオクターブが下がっていきます。下方第３倍音は何かというと、１／３です。１／３でも４／５でも、基音と設定された音の下のある音――分子が分母より小さい比――はチューニングによってだいたい実際の音にすることができます（とんでもなく低い音というのを除けば）。
簡単な例で説明します。ギターの４弦のDを基音とすると、純正にチューニングした場合（ハーモ二クスで合わす）、５弦のAは３／４になり、６弦のEは９／１６になります。それぞれ高い弦の第４ハーモニックに低い弦の第３ハーモニックを合わせればよいのです（あるいはふたつの弦を同時に弾いて、ハーモ二クスが生み出すうなりを注意深く聴いて、うなりがなくなるようにする）。今度は、６弦のEを基音に設定すると、５弦のAは４／３になり、４弦Dは１６／９になる。要するに、実際の音程は変わらなくても、音程比は設定された基音により変化するので、相対的なものと考えることもできるわけです。下方倍音にも同じことが言えます。もう一度４弦Dを基音にして、今度は７／４の音程を作ってみましょう。これは約短７度上のC−３１になります（D±０の場合）。２弦のBを上げてそれはできます。４弦の第７ハーモニック（倍音）に２弦の第４ハーモニックを合わせるとC−３１です。次に６弦Eを４／７に――短７度下のE＋３１――にしましょう。４弦Dの第４ハーモニックに６弦の第７ハーモニックを合わせればいいのです。こうしてDを基音に７／４と４／７が出来ました。ギターだと弦の数が少ないので、限定的な比しか作れませんが、複数のギターを使えば、色々な比がもっと作れるはずです。鍵は実際に聞こえているハーモ二クス（倍音）にあると思います。ハーモ二クスで演奏するのであれば、弦の太さをカスタマイズする必要は多々ありますが、多くの比、およびそれで構成された音律を弾く事ができます。先述の純正律の長音階やブルースのペンタトニックは普通の弦で演奏可能です。
ｐ６９の「実在しない虚数体系が、実数体系内に生じている…」のあたりですが、これもまずいと思います。まず実数というのは虚数以外のすべての数で、負の数を含むすべての整数、分数、無理数を含みます。
−２、√２、円周率、１／５は実数です。虚数というのは、例えばxの二乗が−１になるような数、同じ数をかけてマイナスになる数です。私は数学の専門家ではありません。これは通俗的数学解説書に書いてあることなのです。
下方倍音列を比で書けば、１／２、１／３、１／４、１／５…となるので、虚数どころか無理数でもなく、有理数（分数）です。下方倍音列のそれぞれの値をセントで表したとしても、それは負の数なので虚数ではありません。ある基音――比の場合は１、セントの場合はゼロ――を中心に右（基音より上の音）と左（基音より下の音）に（数）直線をひいていくと、すべての音程がここに含まれることになり、平均律の音程も当然ここに含まれますが、虚数の音程（って何だ？）は含まれません。音や音程における虚数体系とは何事を言おうとしているのでしょうか？レトリックとしてもおかしいと思います。
私は濱瀬さんの理論のことは知りません。それがどんな理論なのかは創造するしかないのですが、うーん、例えば、Cの上方第３倍音はGで下方第３倍音はFなので、CメジャーからGメジャーやFメジャーに転調が可能になり、さらにDメジャーやBbメジャーにも…、という具合になり、それを推し進めると、多調性、さらに最終的には無調にまで至る、ということでしょうか？
私は音程および音律というのは構成するものだと思っています。「ファ」は（上方）倍音列にはありませんが、長音階に組み込まれています。「ラ」もそうです。ですが、これらの音程は倍音由来です。聞こえている音がそれらの音程を作っているのです。下方倍音は聞こえませんが、それらの音を構成し、また実際の音として鳴らすことは可能です。先にもふれましたが、上方倍音を用いてそれが出来るのです。なんでもいいのですが、例えば、下方第１１倍音（１／１１）にあたる音程は、基音がCであれば、それより３オクターブと減５度（といっていいのかどうか…）低いGｂ＋４９ですが、この音程を出すには、その第１１（上方）倍音が基音と一致するようにすればよいわけです。アイデアとしての下方倍音は、基音より下の音程の比の一部であるに過ぎず、「無意識」がどうのこうのとは関係なく作ることが出来る比である、というのが私の意見です。
「無調」に関してはどうでしょうか。根本的に、無調と言うのは平均律をその基礎に持っているように思います。倍音を元にした整数比で表せる音程は平均律で近似値をとるのが難しいものが多くあります。７／４がシ♭−３１セントなのは上に書きましたが、これを平均律の音で代用するのには無理があります。リミットを１１や１３まで広げると、さらにとんでもないことになります。１１／８はファ＃（ソｂ）−４９なので、ファとファ＃のほぼ中間、１３／８はラb＋４１なので、これもラb とラの中間の音程です。
『憂鬱』のほうで純正律を反近代主義や自然主義に例えているところがありましたが、これはおおむね同意します。というのも、そういうことを言う人の多くは、５リミットの純正律長音階の響きの優位さを説いているからです。正直に私は、この純正律長音階の響きはそんなに調子っぱずれに聞こえません。まあ、歌えといっても歌えませんが。しかし、平均律にこれがまざると調子っぱずれに聞こえるかもしれません。６０年代から７０年代の歌手（特に女性）の録音で、歌唱力があるのにも関わらず「おやっ」という音程が登場することがよくありますが、これは、その歌手が純正律を意識して歌った結果であることが多いのではないかと思います。カレン・カーペンターはそうだと思いますね。
平均律との差が目立つのは素数５（およびその倍数）がある音程比、５／４、５／３、１５／８で、ミとラとシです。平均律とのセント差はそれぞれ、−１４、−１６、−１２ですから、これを平均律のその音で置き換えてもあまり問題がないような差に思えます。まあメロディーを弾く分には平均律も純正律の長音階もそんなに違いはないのではないでしょうか。ところが響きの面では違います。１５／８は単純比とは言い難いのでそれほどでもないですが、５／４、５／３は平均律のそれらとは比べものになりません（うなりがなくなり、パワフルになる）。純正律長音階の優位を説く自然主義者はこれらの音程をなんとかしろと言うことが多いです。そういう人の書いた本を読んでいたら――その人は作曲家なのですが――、自分の曲の録音をした際に、弦楽器の人は５／４、５／３、１５／８の音程が取れなくて、どうしても平均律のそれらの音になってしまう、というようなことを書いていました。やはり、多くの音楽家は平均律の音に慣れている、ということらしいです。ところで、純正律長音階にも響きの悪いところはあって、レとラは４０／２７なので、平均律の完全５度の響きの方が良いのではないでしょうか。ちなみに３／２（純正完全５度）と４０／２７の音程の違いは８１／８０（これはピタゴラスの長３度と純正律長音階の長３度との音程の差と一緒で、シントニック・コンマと言います）なのですが、このわずかな違いが響きの面では決定的な違いを生むのです。
なんの話をしていたのでしたっけ？えーと、とにかく、５リミットの純正律長音階ですら、それを平均律に置き換えるのは難しい。響きに関して弊害がでる。上方でも下方でも、倍音列から生みだされた理論ならば５で止まるわけにはいかないので、さらにリミットの拡大をはかるならば、７、１１、１３を導入し、それを相手にしなければならないが、それをやると、もう平均律では処理できなくなってしまうのです。
多調（これを純正音程でやるにはものすごい種類の音を用意しなければならない）も無調も、これらは平均律から生み出されたアイデア――あるいは平均律以降に実現可能になった――なので、倍音由来の音程比で作られた音律から成る音楽とは目指す方向が違うはずです。濱瀬さんのやっていることはまったく知らないですが、一種のジャズのようなものでしょうか？ジャズもまた平均律をその音楽の基礎においていると思います。少なくともある年代以降はそうなのではないでしょうか。
ただ、こういうことは言えるでしょう。これはヘンリー・カウエルが書いていることですが、倍音列の隣り合う音程が西洋音楽のハーモニーの発展に関係しているということです。
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１…
上の数字を倍音列として考えてみると、２／１はオクターブ、３／２は完全５度、４／３は完全４度、５／４は長３度、６／５は短３度、７／６も短３度（ただし、６／５よりせまい）、８／７、９／８、１０／９はすべて長２（だが音程は狭くなっていく）、となるので、最初にオクターブ、次に完全５度、次に完全４度、長３度、短３度…、というようにだんだん狭い音程が音楽に取り入れられていったのではないか、ということをカウエルは言っています。これは、半音、３分音、４分音、さらに細かい微分音へと拡張されるので、それが西洋音楽の歴史と発展にリンクしているはずだというわけです。それはもちろんそうでしょう。しかし、彼は倍音の持つ微分音的特性にはほとんど言及していません。つまり、アイデアであって、実際に聞こえる倍音、それを元に作られた比で構成された音楽そのものに関して言っているわけではないと思います。その理由は先述したこと同じで、完全４度、完全５度までは問題ないとして、そこから先――５リミット以上の音律や音程比――はもはや平均律（が主流になりつつある音楽界）で扱うには手に余るからです。このあたりの処理の仕方はとてもドライですね。けれども、この本（”New Musical Resources”）はとても面白く、カウエルはまたアンダートーンにも言及しています（なので長いこと忘れられてきたものではないのでは？）。何年も前に読んだので、その部分はあまり覚えていません。また読んでみます。どうあれ、こういうのは（観念的）理論であって、「無意識」とは関係ないと私は思います。
ｐ８４の『平均律クラヴィーア』のところですが、もちろん知っていると思いますが、これは英語でのwell-temperedが「平均律」と訳されたことに端を発する間違いで、実際は「ヴェルクマイスター」やキルンベルガー」といった調律のことを指す、というのが常識化しています。当時すでに平均律もありましたが（理論上はもっと古くからあるのですが、実際の楽器にそれを適用することが難しかったみたいです）、バッハはそれを嫌っていたという。
産業革命以前のことだから、ピアノはオーダーメイドだったはずで、チューニングに関しては統一した規格がなかったはずです。平均律が広まるのには楽器を同じ規格で出荷する必要にせまられてから以降なのではないでしょうか。
これは（悪意ある）ミスリードに感じます。（今日的な意味の）平均律でないとすると、すべての調で音律が変わり――ということはすべての調の「ドレミ」が違うことになる――、どの音を主音にしてもよい（これは今日的な意味での移調を匂わしていると思います）という論旨が覆されるからです。バッハの狙いは、調によって音律が変わり、それを楽しむ、ということにあったはずです。
もっとも理解に苦しんだのが、ｐ100の「三段論法的に…」のくだりです。三段論法とは――色々なかたちがありますが――、ふたつの前提から結論を導く推論のひとつで、例えば、
雨が降れば、運動会は中止である。
運動会が中止であれば、学校にはいかなくてよい。
というふたつの前提（命題）から、
雨が降れば、学校にはいかなくてよい。
を導く推論がそうです。「雨が降る」をP、「運動会は中止である」をQ、「学校にはいかなくてよい」をRとして論理式を作ると、
(P⊃Q ∧ Q⊃R)⊃(P⊃R)
となります。”∧”は「かつ（and）」、「ならば（thereforeかなあ？）」といった意味の論理記号です。
これはトートロジー（この場合、P、Q、Rの命題の真偽に関わらず真な命題）なので、この推論は正しいことになります。
たぶんこういうことが言いたいのではないかと思います。思いっきりシンプルにすると、
「楽曲」が聞こえるのであれば、夢を見ている
という前提から、いきなり、
夢を見ているのであれば、「楽曲」が聞こえる
をまず推論し、そこから夢で「楽曲」が聞こえないのは何故か、を問いかけているように思います。違うかもしれませんが、まあ、そうだとしてこれは三段論法ではありません。しかも間違った推論です。「「楽曲」が聞こえる」をP、「夢を見ている」をQとします。
（P⊃Q）⊃（Q⊃P）
すなわち、P⊃QからQ⊃Pを導出するのは、後件肯定の誤謬と言い、正しい推論ではありません。上の式がトートロジーではないからです。
P⊃Qから¬Q⊃¬P（この場合、「夢を見ていないならば、楽曲は聞こえない」）を導出するのは正しい推論です。
（P⊃Q）⊃（¬Q⊃¬P）は対偶律と言う定理で（（¬Q⊃¬P）は（P⊃Q）の対偶）、これももちろんトートロジーです。
他にも論理用語をつかった不適切な（あるいは理解に苦しむ）比喩がたくさんありましたが、それについてはいちいち書きません。ですが、私もソーカルさんと同じで、科学や論理の用語を使うのであれば――それが比喩であっても――、きちんと意味がわかるように使って欲しいです。
（１）第１倍音、第２倍音、第４倍音、第８倍音はそれぞれ、基音、その１オクターブ上、で２オクターブ上、３オクターブ上の音に対応している。つまり基音からnオクターブ上の比は、X = 2n で求めることができる。nに０、１、２、３を代入すれば、それぞれ１、２、４、８となり、１が０に、２が１に、４が２に、８が３に一対一対応します。１オクターブは１２００セントと定義されているので、０、１、２、３は０、１２００、２４００、３６００になる。n = log 2 XはX = 2nの逆関数になり、指数nを求める式である。具体的に書くと、２を何乗すれば、例えば８になるのか、ということ。答えは言うまでもなく３になる。なので、３×１２００＝３６００、を８に対応させることが出来る。ところが、３／２のような分数が登場した場合、それを頭で計算することは（少なくとも私には）出来ない。log 2 3/2を求めるには計算機にたよるしかないのです。もしlog 2 Xを計算できるものであれば、問題ないのですが、多くの計算機ではlog 10 Xしか出来ない（その逆関数はX = 10nになる）。そこで、log 10 X とlog 2 Xの比を求めることで、 log 10 Xでlog 2 Xを計算できるようにして、それに１２００をかけたものが3986.3136 * Log10 Xになる（*は×）。
追記:ここで"2n"となっているのは「2のn乗」がうまく反映出来なかった結果で（どうすれば良いのかわからんです）、"n"は2の指数です。
来週、豊田道倫さんとデュオのライブをします。
ですが、まだ何の準備もしていません。ふたりでリハをしていないばかりか、私はまだ本番でやる豊田さんの曲のデモすら聞けていません。
だいじょうぶなのか？
たぶんナントカなると思っています。
豊田さんのライブはこれまでに何度か観ていて、最初に観た時に、あー、ロックだなあ、いつか一緒にやりたいなあ、こっちが何やっても多分ゆるしてくれるんじゃないかな、なんてことを思いました。どこか余白（あるいは余裕）があるというか、そういう音楽に聞こえました。音がスカスカとかそういう意味での余白ではないです。その時のライブは轟音でしたし。じゃあ何だ、ときかれても、うまく答えることはできないのですが…
しかし私は、ロックというのは常になんらかの余白を持ちその中で遊ぶ音楽なのでは、とこの頃思います。というか、ロックをやるならそういうものがやりたい。
豊田さんとはそういうものが出来ると確信しています。
これから曲を覚えて（で来ないかもしれないけど…）、自分の関わり方を考えなければいけない。この過程がまた好きなんですよ！
そして、今の段階ではまったくどうなるかわからないので、凄まじく楽しみです！
豊田道倫、杉本拓「two cats」
11月14日(月)
19時開場 19時半開演
2500＋D
大久保 ひかりのうま
http://hikarinouma.blogspot.jp/
Cristián Alvear クリスティアン・アルベール [from Santiago, Chile]
２０１６年１０月８日（土）
Cristián Alvear（ギター）、秋山徹次（ギター）、杉本拓（ギター）
open 19:30 start 20:00 2000円
ftarri 水道橋
http://www.ftarri.com/suidobashi/
２０１６年１０月１０日（月・祝）
Cristián Alvear（ギター）、秋山徹次（ギター）、杉本拓（ギター）
open 19:30 start 20:00 投げ銭 ＆８００円（バー・チャージ）＋ドリンク・オーダー
下北沢 APOLLO
http://ameblo.jp/430416apollo/
きっかけはマンフレッド・ベルダー（Manfred Werder）だった。彼が言うには、チリに素晴らしいギタリストがいて、演奏できる曲を探しているので、私のメール・アドレスを教えてもかまわないか、ということだった。もちろん、断る理由はなにもない。それからしばらくしてクリスティアン・アルベールからメールが来た。あまり憶えていないが３年ほど前のことであろうか。
私はこれまでにソロ・ギターのために書かれたものを含むいくつかの譜面とCDを送っていて、クリスティアンのほうからもCDやいくつかの譜面が送られてきた。彼はヴァンデルヴァイザー（およびそれに関係の深い）の作曲家の作品を演奏しており、同じギタリストのよしみで、それらの譜面を転送してくれたわけである。
ヴァンデルヴァイザーの作曲家によるギター曲のいくつかには親しんでいて、演奏もちょくちょくしてはいたが、それを録音して発表することは――作曲のほうが面白くなっていたこともあり、それほど真剣に考えていなかったのだろう――先延ばしにしていた。反対にクリスティアンは、様々な機会にそれらの曲を演奏する一方で、いくつかはきちんとCDにもしている。そのうちの２曲、アントワン・ボイガー（Antoine Beuger）の24 petits prélude pour la guitareとMichael PisaroのMelody, Silenceはどちらも好きな曲だったので、先にやられてしまったなあ、と思ったのである。
もちろんどの演奏も素晴らしい。上の２曲もそうだが、起承転結があるわけでもなく、演奏技術がこれみよがしに披露されるわけでもない曲（多くのギタリストはそういう曲にそもそも興味を持たないのではないか？）を淡々と弾くことによって、それぞれの曲のエッセンスを炙り出している。実際に、クリスティアンが登場することによって、ヴァンデルヴァイザー周辺に数々のギター曲が登場したのではないだろうか？先述した「転送してくれた譜面」がまさに、彼のためにここ数年で作曲されたギター曲達なのであった。
私はクリスティアン・アルベール本人に会うのをずっと楽しみにしていたが、今回の来日でそれが可能となったのである。
CDs:
Antoine Beuger "24 petits prélude pour la guitare" Cristián Alvear (guitar) EDITION WANDELWEISER RECORD EWR 1302
Michael Pisaro "Melody, Silence" Cristián Alvear (guitar)POTORATCH
"Quatre Pièces Pour Guitare & Ondes Sinusoïdales" Cristián Alvear (guitar) RHIZOME.S #06
Jürg Frey "guitarist, alone" Cristián Alvear (guitar) Another Timbre At94x2
Taku Sugimoto "mada" Ryoko Akama (electronic & piano), Cristian Alvear (guitar), Cyril Bondi (harmonium & percussions), D’ incise (bowed metals & electronic) CADUC CA16
インタビューがAnother Timbreのサイトにあります。
http://www.anothertimbre.com/freyguitar.html
国内で他にもコンサートがあります。情報が入り次第載せます
